MatlabClass

Matlab 的学习

matlab系统环境

matlab的搜索路径为：

变量，内部函数，程序文件（先搜索当前文件再在文件搜索路径下搜索）

• 如果在当前文件夹和搜索路径文件夹下建立了一个同名的M文件，那么在命令行窗口输入文件名时，会执行哪个文件？
  • 答：执行当前文件夹下的文件
• 如果用户建立的文件既没有保存在当前文件夹下，又没有保存在文件搜索路径中，那么在命令行窗口输入文件名时会出现什么信息？
  • 答：系统找不到，会报错

matlab数值数据

• 整型数据 MatLab提供了数据类型转换函数来实现数据类型的转换。例如uint8函数将数值数据转换为无符号8位整数，int8函数将数值数据转换为带符号8位整数

>>x=int8(129)
x=
  127      //因为带符号整数取值为-2的7次方到+2的7次方减1(-128~127),所以转换成带 >>x=uint8(129)     符号数的最大值127
x=
  129	   //不带符号数的取值为0~2的8次方减1(0~255)

• 浮点型 在matlab中数值数据默认为浮点型，浮点型数据分为双精度和单精度两种，单精度占4个字节，双精度占8个字节，所以双精度型的数据精度更高。
  • single函数：将其他类型的数据转换为单精度型
  • double函数：将其他类型的数据转换为双精度型

>>class(4)
ans=
double
>>class(single(4))
ans=
single

• 复型数据 复型数据包括实部和虚部两个部分，实部和虚部默认为双精度类型，叙述单位用i或者j来表示
  • real函数：求复数的实部
  • imag函数：求负数的虚部

>>6+5i
ans=
  6.0000+5.0000i
>>6+5j
ans=
  6.0000+5.0000i  //这两个表示的是同一个负数

• format命令的格式：formt格式符

>>format long
>>50/3
ans=
  16.666666666666668  //小数点后15位
>>format  //默认short型
>>50/3
ans=16.66667  //小数点后5位

format命令只影响数据输出格式而不影响数据的计算和存储

常用数学函数

• 函数的调用格式为：

函数名（函数自变量的值） 函数的自变量规定为矩阵变量，当然也可以是标量，标量本身是矩阵的一种特例。函数在运算时是将函数逐项作用于矩阵的每个元素上，所以最后遇的结果就是一个与自变量同型的矩阵

>>A=[4,2,3,6]
A=
  4  2
  3  6
>>B=exp(A)    //A把调用结果赋给B
B=54.5982  7.3891  //B最后结果也为和A一样的同型矩阵，并且对应的每个数字都是求对数字求自然指数得来的
  20.0855  403.4288

matlab变量与数值语句

• 在matlab中，变量以字母开头，后接数字或下划线，最多63给字符
  • 变量=表达式
  • 表达式赋值给matlab预定义变量ans

注意：如果在赋值语句后加；那么matlab仅仅执行赋值操作，不会显示运算后变量的结果

>>x=sqrt(7)-2i;
>>y=exp(pi/2);
>>z=(5+cosd(47)/(1+abs(x-y)))

• ans是默认赋值变量
• i和j代表虚数单位
• pi代表圆周率
• NaN代表非数

变量的管理：

（1）变量的删除和修改：可在工作区进行

• who命令可以显示出驻留变量的名称
• whos命令不仅显示出名称还会给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息

（2）内存变量文件：用于保存matlab工作区变量的文件叫做内存变量文件，其扩展名为.mat，也叫MAT文件（标准二进制文件）

• save命令：创建内存变量文件
• load命令：装入内存变量文件
  • 若变量a和变量x存在matlab工作空间中，可以执行命令 >>save mydate a x 这样就会把a和x保存在mydate.mat文件中
  • 在下一次重新进入matlab时，输入>>load mydate,就把mydate.mat文件中的内容装入matlab工作空间，那么在当前matlab工作环境中a和x已知

matlab矩阵的表示

• 利用直接输入法建立矩阵：将矩阵的元素用中括号括起来，按矩阵行的顺序输入各个元素，同一行的各元素之间用逗号或空格分隔，不同行的元素之间用分号分隔

>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A=
  1 2 3
  4 5 6
  7 8 9

• 利用已经建立好的矩阵建立更大的矩阵：一个大矩阵由两个小的拼接而成

>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>>B=[-1,-2,-3;-4,-5,-6;-7,-8,-9];
>>C=[A,B;B,A]
C=
  1 2 3 -1 -2 -3
  4 5 6 -4 -5 -6
  7 8 9 -7 -8 -9
  -1 -2 -3 1 2 3
  -4 -5 -6 4 5 6
  -7 -8 -9 7 8 9

可以用实部矩阵和虚部矩阵构成复数矩阵

>>B=[1,2,3;4,5,6];
>>C=[6,7,8;9,10,11];
>>A=B+i*C
A=
1.0000+6.0000i  2.0000+7.0000i  3.0000+8.0000i
4.0000+9.0000i  5.0000+10.0000i  6.0000+11.0000i

向量是矩阵的特殊类型，可以由冒号表达式产生行向量,也可用linspace函数产生一个行向量

格式：e1:e2:e3 //e1为初始值，e2为步长可省略默认为1，e3为终止值

​ linspace（a,b,n）,a为第一个元素，b为最后一个元素，n为元素总数当n省略时将自动产生100个元素

>>t=0:1:5
t=
  0 1 2 3 4 5
  
>>x=linspace(0,pi,6)
x=
  0 0.6283 1.2566 1.8850 2.5133 3.1416

结构矩阵和单元矩阵

结构矩阵：数据类型不同而逻辑相关的数据组成一个有机整体，其中每个数据又构成了结构数据的一个成员（学生：学号，姓名，性别），学生这个结构数据，包含了这三个成员

格式：结构矩阵元素.成员名=表达式

eg.例如要建立含有三个元素的结构矩阵a，每个元素包含三个数据类型

我们只需要分别给结构矩阵a中的每个元素里的每个成员赋值就可以了

>>a(1).x1=10;a(1).x2='liu';a(1).x3=[11,21;34,78];
>>a(2).x1=12;a(2).x2='wang';a(2).x3=[34,191;27,578];
>>a(3).x1=10;a(3).x2='liu';a(3).x3=[13,890;67,231];

单元矩阵：单元数据类型也是把不同数据类型放在一个变量中，单元矩阵的各个元素就是不同类型的数据，每个元素就是由不同数据类型组成的（而结构数据矩阵下的元素是由名字不同的成员构成） 建立单元矩阵和一般矩阵相似，直接输入就可以，只是单元矩阵元素用大括号括起来。

>>b={10,'liu',[11,21,34,78];12,'wang',[34,191;27,578];14,'cai',[13,890;67,231]}
b=
  [10]  'liu'  [2*2 double]
  [12]  'wang' [2*2 double]
  [14]  'cai'  [2*2 double]

矩阵元素的引用

• 通过下标来引用矩阵元素 A(4,5)第四行第五列

$$>>A=[1,2,3;4,5,6]; >>A(4,5)=10; A= 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 //自动补0$$

• 通过序号引用 在matlab中矩阵元素按列存储，即首先存储矩阵的第一列元素，然后存储第二列元素一直存储到最后一列 矩阵元素的序号就是矩阵元素在内存中的排列顺序
  • 序号与下标是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)×m+i
  • 矩阵元素的序号可以与下标可以利用sub2ind和ind2sub函数实现相互转换。
    • sub2ind函数:将矩阵中指定元素的行，列下标转换成存储的序号。调用格式为：D=sub2ind(S,I,J) S:行数和列数组成的向量 I:转换矩阵元素的行下标 J:转换矩阵元素的列下标 D:对应下标元素的序号
    • ind2sub函数:将把矩阵元素的序号转换成对应的下标。调用格式为：[i,j]=ind2sub(S,D) S:行数和列数组成的向量 D:对应下标元素的序号 I:转换矩阵元素的行下标 J:转换矩阵元素的列下标

>>A=[1,2,3;4,5,6]
A=
  1 2 3
  4 5 6
>>A(3)
ans=
  2
  
  
//size函数的结果是由这个矩阵的行数和列数组成的一个矩阵
//sub2ind函数举例
>>A=[1:3;4:6]
A=
  1 2 3 
  4 5 6
>>D=sub2ind(size(A),[1,2;2,2],[1,1;3,2])
D=
  1 2
  6 4
  

>>[I,J]=ind2sub([3,3],[1,3,5])  //求一个三行三列矩阵的第一个第三个第五个元素的下标
I=
  1 3 2
J=
  1 1 2

利用冒号表达式获得子矩阵（子矩阵是指矩阵中的一部分元素构成的矩阵）

A(i,:)           //第i行的全部元素
A(:,j)           //第j列的全部元素
A(i:i+m,k:k+m)   //第i~i+m行内且在第k~k+m列中的所有元素
A(i:i+m,:)       //第i~i+m行的全部元素

end运算符：表示某一维的末尾元素下标

>>A=[1,2,3,4,5;6,7,8,9,10;11,12,13,14,15;16,17,18,19,20];
>>A(end,:)
ans=
  16 17 18 19 20
>>A([1,4],3:end)  //第一行到第四行的第三列到最后一列的元素
ans=
  3  4  5
  18 19 20

利用空矩阵删除矩阵的元素，空矩阵是指没有任何元素的矩阵

>>x=[]
x=
  []
x是一个空矩阵

>>A=[1,2,3,0,0;7,0,9,6;1,4,-1,1,8]
A=
  1 2  3  0 0
  7 0  9  2 6
  1 4 -1  1 8
>>A(:,[2,4])=[]  //删除第二列和第四列的元素
A=
  1  3 0
  7  9 6
  1 -1 8

改变矩阵的形状

reshape:在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。reshape函数只是改变原矩阵的行数和列数，但并不改变原矩阵元素个数及其存储顺序

>>x=[23,45,65,34,65,34,98,45,78,65,43,76];
>>y=reshape(x,3,4)  //就是把x矩阵变为3×4的矩阵
y=
  23 34 98 65
  45 65 45 43
  65 34 78 76

A(:):将矩阵A的每一列元素堆叠起来，成为一个列向量

>>A=[-45,65,71;27,35,91]
A=
  -45 65 71
   27 35 91
>>B=A(:)    A(:)等价于reshape(A,6,1)
B=
  -45
   27
   65
   35
   71
   91

matlab基本运算（matlab的运算都是根据矩阵而言的）

• 算数运算

  • 基本算数运算：基本运算符:+ ， -， * ， /(右除) ， \ (左除)，^(乘方) matlab的算数运算是在矩阵意义下进行的。单个数据的算数运算只是矩阵运算的一种特例

    • 加减运算必须是同型矩阵
    • 两矩阵相乘要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相同
    • 有两种矩阵除法，如果A矩阵是非奇异方阵，则B/A等效于Binv(A),A\B等效于inv(A) B
    • A^x乘方运算要求A为方阵，x为标量

  • 点运算：点运算符：.* , ./ , .\ ,.^

    • 要求两个矩阵同型

  >>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
  >>B=[-1,0,1;1,-1,0;0,1,1];
  >>C=A.*B
  C=
    -1  0 3 
     4 -5 0
     0  8 9
  >>D=A*B
  D=
    1 1 4
    1 1 10
    1 1 16

  //当x=0.1、0.4、0.7、1时，分别求y=sinxcosx的值
  >>x=0.1:0.3:1;
  >>y=sin(x).*cos(x);  //这里必须用点乘，因为x是一个向量，sin(x)和cos(x)是和x同长度的向量,如果用乘法没用点乘就会出现不相容(A行不等B列)的情况

• 关系运算

  • 关系运算符：<, >, <= ,>= ,==,~=(不等于) 若两个数是标量时，直接比较两个数大小，若关系成立则为1否则为0
    • 当参与比较的是两个同型的矩阵时，比较是对两矩阵位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，最终的关系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，它的元素由0或1组成
    • 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每个元素按标量关系运算规则逐个比较，最终的关系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，它的元素由0或1组成

//rem(A,2)是求A中每个元素除二的余数矩阵
>>A=[24,35,13;22,63,23;39,47,80]
A=
  24 35 13 
  22 63 23
  39 47 80
>>P=rem(A,2)==0
P=
  1 0 0
  1 0 0
  0 0 1
  //P中元素为1的矩阵就是元素为偶数的位置

• 逻辑运算
  • 逻辑运算符：&，|，~
    • a&b a和b要全是1，才为1
    • a|b a和b一个为1就是1
    • ~a a为0，运算结果为1；a为非0，运算结果为0
    • 当参与逻辑运算的是两个同型的矩阵时，比较是对两矩阵位置的元素按逻辑关系运算规则逐个进行，最终的逻辑运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，它的元素由0或1组成
    • 当参与逻辑运算的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每个元素按逻辑关系运算规则逐个比较，最终的逻辑运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，它的元素由0或1组成

算数运算的优先级最高，逻辑运算优先级最低，但逻辑非运算是单目运算，它的优先级比双目运算要高

//水仙花数
>>m1=100:999
>>m2=rem(fix(m/10),10);
>>m3=fix(m/100);
>>k=find(m==m1.*m1.*m1+m2.*m2.*m2+m3.*m3.*m3)
k=
  54 271 272 308
>>s=m(k)
s=
  153 370 371 407

字符串的处理

• 在matlab中，字符串是用单引号括起来的字符序列
• 若字符串中的字符有单引号，则该单引号字符要用两个单引号来表示

>>xm='Central South University'
>>xm(1:3)  //取字符串的第1到第3个字符
ans=
Cen

>>'I "m a teacher.'
ans=
I'm a teacher.

• matlab中可以建立多行字符串，形成字符串矩阵，字符串就相当于一个行向量，每个字符就是其中一个元素

字符串的操作

• 字符串的执行：eval(s) 这里的s是一个字符串

>>t=pi;
>>m='[t,sin(t),cos(t)]';
>>y=eval(m)
y=
  3.1416 0.0000 -1.0000

• 字符串与数值之间的转换
  • abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵
  • char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵

>>s1='MATLAB';
>>a=abs(s1)
a=
  77 65 84 76 65 66
>>char(a+32)
ans=
matlab

• 字符串的比较
  • 关系运算符：两个字符串的每个字符依次按ASCII值大小逐个进行比较，比较的结果是一个数值向量，向量中的元素要么是1，要么是0
  • 字符串比较函数
    • strcmp(s1,s2):用来比较字符串s1和s2是否相等，相等返回1，否则0
    • strncmp(s1,s2,n):用来比较两个字符串前n个字符是否相等，相等返回1，否则0
    • strcmpi(s1,s2):在忽略字母大小写前提下来比较字符串s1和s2是否相等，相等返回1，否则0
    • strncmpi(s1,s2,n)：在忽略字母大小写前提下比较两个字符串前n个字符是否相等，相等返回1，否则0
• 字符串的查找与替换
  • findstr(s1,s2):返回段字符串在长字符串中的开始位置
  • strrep(s1,s2,s3):将字符串s1中的所有字符串s2替换成字符串s3

>>p=findstr('This is test!','is')
p=
  3 6
>>>p=findstr('is','This is test!')
p=
  3 6
>>result=strrep('This is a test!','text','class')
result=
This is a class

特殊矩阵（调用方式相似）

• zreos函数：产生全0矩阵，即零矩阵

  • zero(m):产生m×m零矩阵

  • zeros(m,n):产生m×n零矩阵

  • zero(size(A)):产生与矩阵A同样大小的零矩阵

    >>A=zeros(2,3)
    A=
      0 0 0
      0 0 0
    >>zeros(size(reshape(A,3,2)))  //把矩阵A变为三行两列的矩阵并产生和改变后的矩阵A相同的大小的零矩阵
    ans=
      0 0
      0 0
      0 0

• ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵

• eye函数：产生对角线为1的矩阵，当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵

• rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵

• randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正太分布随机矩阵

//首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6，方差为0.1的5阶正太分布矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI(I为单位矩阵)
//rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机数
//fix(a+(b-a+1)*x):产生[a,b]区间上均匀分布的随机整数
//rand函数:产生均值为0，方差为1的标准正太分布随机矩阵
//μ+σx:得到均值为μ，方差为σ^2的随机数
>>A=fix(10+(99-10+1)*rand(5)); //产生5行5列的矩阵其值时10到99之间的矩阵A
>>B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5);  //产生均值为0.6方差为0.1的5行5列的正态分布随机矩阵矩阵B
>>C=eye(5);  //产生5阶单位阵
>>(A+B)*C==C*A+B*C
ans=
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1

用于专门学科的特殊矩阵

• 魔方矩阵
  • n阶魔方阵由1，2，3……n^2共n^2个整数组成，且每行，每列以及主副对角线上各n个元素之和都相等
  • n阶魔方阵每行每列元素的和为(1+2+3+……+n^2)/n=(n+n^3)/2
  • MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵

//产生8阶魔方阵，求其每行每列元素的和
>>M=magic(8);
>>sum(M(1,:));

ans=
  260
>>sum(M(:,1))
ans=
  260

• 范德蒙矩阵

  • 
  • 

• 希尔伯特矩阵

  

矩阵变换

• 对角阵

  • 对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵

  • 数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵

  • 单位矩阵：对角线上的元素都为1的矩阵

    • 提取矩阵的对角线元素

    • 规定与主对角线平行向上为第1条对角线，向下为第-1条，主对角线为第0条对角线

    • diag(A):提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量

    • diag(A,k):提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量

    • 构造对角矩阵

    • diag(V):以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵

    • diag(V,k):以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵

    • ```matlab
      //先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行元素乘以2……，第五行乘以5
      //方法：提取一个列向量，元素为1，2，3……5，接着让这个列向量的第一行的第一个元素乘以A的第一行，第二行第二个元素乘以A的第二行…………即让这个列向量左乘矩阵A

      A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9]
      A=
      7 0 1 0 5
      3 5 7 4 1
      4 0 3 0 2
      1 1 9 2 3
      1 8 5 2 9
      D=diag(1;5)
      D*A
      ans=
      7 0 1 0 5
      6 10 14 8 2
      12 0 9 0 6
      4 4 36 8 12
      5 40 25 10 45

      - ```matlab
        //要将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现?  右乘矩阵
        >>A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9]
        A=
          7 0 1 0 5 
          3 5 7 4 1 
          4 0 3 0 2
          1 1 9 2 3 
          1 8 5 2 9
        >>D=diag(1:5);
        >>A*D
        ans=
          7  0  3  0 25
          3 10 21 16  5
          4  0  9  0 10
          1  2 27  8 15
          1 16 15  8 45

• 三角阵

  • 上三角矩阵

    • triu(A):提取矩阵A的主对角线以及以上元素

    • triu(A,k):提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素

    • ```matlab

      triu(ones(4),-1)
      ans=
      1 1 1 1
      1 1 1 1
      0 1 1 1
      0 0 1 1

        - 下三角矩阵
      
          - tril函数和triu用法一样
      
      ### 矩阵转置
      
      - 转置运算符是小数点后面接单引号(.')
      - 共轭转置，其运算符是单引号('),它在转置的基础上还要取每个数的复共轭
      - ![](https://cdn.staticaly.com/gh/pipi1002/markdown_pic@main/Screenshot_20230729_174731.jpg)
      
      ### 矩阵的旋转和旋转（上下翻转后主副对角线互换）
      
      ![](https://cdn.staticaly.com/gh/pipi1002/markdown_pic@main/Screenshot_20230729_174757.jpg)
      
      ![](https://cdn.staticaly.com/gh/pipi1002/markdown_pic@main/Screenshot_20230729_174844.jpg)
      
      ![](https://cdn.staticaly.com/gh/pipi1002/markdown_pic@main/Screenshot_20230729_175149.jpg)
      
      ### 矩阵求逆（inv函数）
      
      ![](https://cdn.staticaly.com/gh/pipi1002/markdown_pic@main/qq_pic_merged_1690624552843.jpg)
      
      ```matlab
      >>A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];
      >>b=[5;-2;6];
      >>x=inv(A)*b
      x=
        23.0000
       -14.5000
        3.6667
        
      //也可以用左除运算符  
      >>x=A\b
      x=
        23.0000
       -14.5000
        3.6667