数学建模案例1

SARS疫情对某些经济指标的影响(灰色预测)

图一：商品零售额

图二：接待海外旅行人数

图三：综合服务业累计数据(单位：亿元)

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1.利用灰色理论建立灰微分方程模型，由1997~2002年的平均值预测2023年平均值

可以根据1997~2002年中每个月的数据，预测出2003年每个月的数据；也可以把每年中12个月数据总和加起来预测2003年总和，并根据每年每月数据占总和的多少来预测2003年每月的情况(以下是第二种想法)

对1997~2002年某项指标记为矩阵A=(a_ij)_6×12计算每年的年平均值，记为
- 要求极比属于(0.7515到1.3307)
对$x^{(0)}$作一次累加，则
$x^{(1)}(1)=x^{(0)}(1),x^{(1)}(i)=\sum_{k=1}^{i}{x^{(0)}(k)}(i=2,3)\\ 记x^{(1)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(6))$ $x^{(0)}=(87.6167,98.5000,108.4750,118.4167,132.8083,145.4083) x^{(1)}=(87.6167,186.1167,294.5917,413.0083,545,8167,691.2250)$

$\alpha=0.4则z^{(1)}(k)=0.4x^{(1)}(k)+(1-0.4)x^{(1)}(k-1),z^{(1)}=(127.0617,229.5067,341.9583,466.1317,603.9800)$
最小二乘法得到a=-0.0993，b=85.5985，可得2003年的月平均值为x=162.8826，年总值为X=12x=1954.6
$u_i=\frac{\sum_{j=1}^{6}a_{ij}}{\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=1}^6a_{ij}}$
上式子可以计算出每个月所占整年预测值得：u=(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0829,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,0.0920)则可以得到2003年1-12月的预测值为：

Y=u·X=(155.2,157.8,146.4,153.6,160.1,159.9,165.2,163.8,170.5,173.2,169.3,179.9)(亿元)

clc,clear
han1=[输入数据]
han1(end,:)=[];m=size(han1,2);
m=size(han1,2);%把月份提取出来，一共十二个月
x0=mean(han1,2);%返回x0矩阵每行的平均值，其中的2代表返回行
x1=cumsum(x0);%一次累加
alpha=0.4;
n=length(x0);%长度，数据的维度,n=6
z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%求邻域生成数
Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];
ab=B\Y%求a,b
k=6;
x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))%预测新一年平均每月的值
z=m*x7hat
u=sum(han1)/sum(sum(han1))
v=z*u