数学建模案例1
SARS疫情对某些经济指标的影响(灰色预测)
图一:商品零售额
图二:接待海外旅行人数
图三:综合服务业累计数据(单位:亿元)
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1.利用灰色理论建立灰微分方程模型,由1997~2002年的平均值预测2023年平均值
可以根据1997~2002年中每个月的数据,预测出2003年每个月的数据;也可以把每年中12个月数据总和加起来预测2003年总和,并根据每年每月数据占总和的多少来预测2003年每月的情况(以下是第二种想法)
对1997~2002年某项指标记为矩阵A=(a_ij)_6×12计算每年的年平均值,记为 \[ x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),x^{(0)}(3),...,x^{(0)}(6)) \]
- 要求极比属于(0.7515到1.3307)
对\(x^{(0)}\)作一次累加,则 \[ x^{(1)}(1)=x^{(0)}(1),x^{(1)}(i)=\sum_{k=1}^{i}{x^{(0)}(k)}(i=2,3)\\ 记x^{(1)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(6)) \]
\[ x^{(0)}=(87.6167,98.5000,108.4750,118.4167,132.8083,145.4083) x^{(1)}=(87.6167,186.1167,294.5917,413.0083,545,8167,691.2250) \]
\(\alpha=0.4则z^{(1)}(k)=0.4x^{(1)}(k)+(1-0.4)x^{(1)}(k-1),z^{(1)}=(127.0617,229.5067,341.9583,466.1317,603.9800)\)
最小二乘法得到a=-0.0993,b=85.5985,可得2003年的月平均值为x=162.8826,年总值为X=12x=1954.6 \[ u_i=\frac{\sum_{j=1}^{6}a_{ij}}{\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=1}^6a_{ij}} \] 上式子可以计算出每个月所占整年预测值得:u=(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0829,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,0.0920)则可以得到2003年1-12月的预测值为:
Y=u·X=(155.2,157.8,146.4,153.6,160.1,159.9,165.2,163.8,170.5,173.2,169.3,179.9)(亿元)
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