数据降维处理的算法：(评价模型)

主成分分析法(所有主成分的数量=指标数量,各主成分的累计方差贡献率>80%,或特征根>1)SPASS图像

例题1.1有31个样本，每个样本有8个变量

要从原来的所有变量得到新的综合变量，一种较为简单的方法是作线性变换，使得新的综合变量为原变量的线性组合

• （var()为求方差的意思）$var(c{F}_1)=c^{2}var(f_1)$,c为常数
• 为使得方差var(Fi)可以比较$a{i1}^2+a{i2}^2+a{ip}^2=1$
• 要求原始变量有一定相关性
• 要求各个综合变量之间互不相关，即协方差为0

例题1.2根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释

指标标准化：分析->描述统计->描述->导入数据->将标准化值另存为变量->结果

进行主成分分析：分析->降维->因子->把标准化处理过的导入->描述->初始解->KMO和巴特利特球形度检验->得分->保存为变量->回归->显示因子得分系数矩阵

上图显示的是特征值，如果特征值累计值超过百分之85，例如如图的前两个已经到了百分之85，则选1，2作为主成分

此时成分矩阵(下图)并不是主成分分析的系数，而是因子分析

重新标度后成分取值在1~-1，其中第一个主成分代表的是人均GDP，固定资产投资，年末总人口，居民消费水平，第二个主成分代表的是财政收入，固定资产投资，社会消费品零售总额 (也可以用分析->降维->因子分析->旋转->载荷图，或者提取->碎石图看出来)

因子分析和主成分分析之间的切换:因为已经得出成分矩阵了，只需要除以$\lambda$得到新的特征向量

转换->计算变量->(目标变量随意起名字)$V1/\sqrt{\lambda },\mathrm{其}\mathrm{中}\lambda =\mathrm{总}\mathrm{方}\mathrm{差}\mathrm{解}\mathrm{释}\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{重}\mathrm{新}\mathrm{标}\mathrm{度}\mathrm{的}\mathrm{值}$

计算最终答案：

模糊综合评价模型(适用于少量数据支撑情况下的评价问题)

模糊集：长，短；多，少；高，矮 这类现象不满足”非此即彼”的排中律，而具有“亦此亦彼”的模糊性：

设给定论域U，所谓U上的一个模糊集A是指对于任意$x\in U$，都能确定一个正数${\mu }_A(x)\in [0,1]$用其表示x属于A的程度，映射$x\in U->{\mu }_A(x)\in [0,1]$称为A的隶属函数，函数值${\mu }_A(x)$称为x对A的隶属度，每个元素都有隶属度的集合称之为模糊集

设$x_i$表示第i(i=1,2,…,30)条线段，则论域$U=\left { \begin{array}{lr**}

x1,x_2,…,x{30}\end{array} \right }$\mathrm{若}A\mathrm{为}“\mathrm{长}\mathrm{线}\mathrm{段}”\mathrm{的}\mathrm{集}\mathrm{合}，\mathrm{则}\mathrm{线}\mathrm{段}$xi$\mathrm{作}\mathrm{为}\mathrm{集}A\mathrm{的}\mathrm{成}\mathrm{员}\mathrm{资}\mathrm{格}，\mathrm{就}\mathrm{是}$x_i$\mathrm{对}A\mathrm{的}\mathrm{隶}\mathrm{属}\mathrm{度}。\mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{越}\mathrm{长}，\mathrm{属}\mathrm{于}A\mathrm{的}\mathrm{程}\mathrm{度}\mathrm{越}\mathrm{大}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{短}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{作}\mathrm{为}A\mathrm{的}\mathrm{隶}\mathrm{属}\mathrm{度}，\mathrm{从}\mathrm{而}\mathrm{令}$A(x_1)=1,A(x{30})=0$,\mathrm{作}\mathrm{直}\mathrm{线}$A(x_i)-0=\frac{1-0}{1-30}(i-30),A(x_i)=\frac{1}{29}(30-i),i=1,2,…,30$

隶属函数的分类：

1. 偏小型:$A(x)=\left { \begin{array}{lr**}1,xb \end{array} \right.$

   

2. 偏大型:$A(x)=\left { \begin{array}{lr**}1,xb \end{array} \right.$

   

3. 中间型:$A(x)=\left { \begin{array}{lr**}0,xd\end{array} \right.$

   

模糊评价：

例题1.1 某服装厂采用模糊综合评价法来了解顾客对某种服装的欢迎程度。顾客是否喜欢某种服装，与话说，样式，价格，耐用度和舒适度有关，故确定评价服装的因素集为U={花色，样式，价格，耐用度，舒适度}

1.由市场调研得出分别对各个因素的受欢迎程度为(评价指标)

R1={0.2，0.5，0.3，0}，R2={0.1，0.3，0.5，0.1}，R3={0，0.1，0.6，0.3}，R4={0，0.4，0.5，0.1}，R5={0.5，0.3，0.2，0}得出模糊综合评价矩阵为$A=\left { \begin{array}{lr**} 0.2\quad0.5\quad0.3\quad0\0.1\quad0.2\quad0.5\quad0.1\ 0\quad0.1\quad0.6\quad0.3\0\quad0.4\quad0.5\quad0.1\ 0.5\quad0.3\quad0.2\quad0\end{array} \right.$

2.评价指标权重的确定(花色，耐用度，…谁更重要),确定权重通常有主观和客观两类方法，主观法的代表是层次分析法，客观法是根据各指标的联系，利用数学方法计算出各指标的权重，如质量分数法，变异系数法

通常引入一个模糊向量$A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$来表示各评价指标在目标中所占权重，称为权重向量

变异系数法：已知5个投资方案如下表，试确定4个评价指标的权重

变异系数法的设计原理：将波动幅度高的指标，给与较大的权重，因为方差可以描述取值的离散程度，即某指标的方差反映了该指标的分辨能力，所以可以用方差定义指标的权重

• 计算第i项指标的均值与方差$\overline{Ai}=\frac{1}{n}\sum{j=1}^{n}a{ij},s_i^2=\frac{1}{n-1}\sum{j=1}^{n}(a{ij}-\overline{x_i})^2$\mathrm{令}$v_i=s_i/|\overline{x_i}|$,\mathrm{则}\mathrm{归}\mathrm{一}\mathrm{化}\mathrm{的}$v_i$(\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{此}\mathrm{时}v\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{都}\mathrm{在}01\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{内}\mathrm{就}\mathrm{不}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{归}\mathrm{一}\mathrm{化}，\mathrm{否}\mathrm{则}\mathrm{要}\mathrm{对}\mathrm{原}\mathrm{始}\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{归}\mathrm{一}\mathrm{化}\mathrm{处}\mathrm{理})\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{各}\mathrm{指}\mathrm{标}\mathrm{的}\mathrm{权}\mathrm{重}，$归一化方法：\frac{v_i-v{imin}}{v{imax}-v{imin}}$\mathrm{即}$\omega_i=v_i/\sum{v_i}$

结果：$\overline{x_i}=7.37,s_i=2,38,v_1=s_1/\overline{x_1}=2.38/7.37=0.323,\mathrm{同}\mathrm{理}{v}_2=0.227，v_3=0.228，v_4=0.544$从而${\omega }_1=0.244,{\omega }_2=0.172,{\omega }_3=0.172,{\omega }_4=0.412$ 其实只能判断哪些指标分辨率更强，但不是谁最重要

3.模糊合成与综合评价

其实也可以取M为普通的矩阵乘法，此时合成即为加权平均(效果不好)，至于到底取何种算子取决于问题的性质和算子的特点

乘法体现权数作用，取和的时候综合程度强，相乘就是利用R的信息(图上有误)

主因素突出型适用于模糊矩阵中数据相差很悬殊的情形，而加权平均型则常用于因素很多的情形，可以避免信息丢失

例题1.3.1在教学过程的综合评价中，取U={清楚易懂，教材熟悉，生动有趣，板书整齐}，V={很好，较好，一般，不好}。设某班同学对教师的教学评价矩阵为$R=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}0.4& 0.5& 0.1& 0\text{0}.6& 0.3& 0.1& 0\text{0}.1& 0.2& 0.6& 0.1\text{0}.1& 0.2& 0.5& 0.2\end{array}\right]$,若考虑权重A=(0.5,0.2,0.2,0.1)试求学生对这位教师的综合评价

利用A和R，利用四种合成算子编程计算得$B=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}0.3333& 0.4164& 0.1667& 0.0833\text{0}.3200& 0.4000& 0.2000& 0.0800\text{0}.3390& 0.4237& 0.2033& 0.0339\text{0}.3500& 0.3700& 0.2400& 0.0400\end{array}\right]$

过程如下：

1.权重A的每一行元素和R分别和每一列元素相比得到最小$(0.4,0.2,0.1,0.1);(0.5,0.2,0.1,0.1);(0.1,0.1,0.2,0.5);(0,0,0.1,0.1)$

2.再将得出的每一括号内的元素取最大值为$0.4,0.5,0.2,0.1$

3.因为所有$b_i$相加应该等于1，0.4，0.5，0.2，0.1都在0~1范围内，已经归一化了，但是相加得0.4+0.5+0.2+0.1=1.2不为1，就用0.4除以他们的综合，其他同理，结果为以上

注意:这道题简单于，给出了权向量A和评价矩阵R，一般情况下不会给，要根据变异方差法求A，求R的常用方法有相对偏差法和相对优属度法，在数学建模中还可以考虑与灰色系数分析连用

相对偏差法

1.4.1例题先有下列5个农业奇数经济方案，试评价各方案的优劣

1.产量和肥力为效益性指标，其他为理想型指标，效益性指标用最大值，理想型指标用最小值：u={1000，60，4000，1，30，0.5，1}

2.根据前述方法求出相对偏差模糊矩阵：$\frac{\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}-\mathrm{该}\mathrm{值}}{\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}-\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}}=\frac{1000-1000}{1000-700}=0$

$R=\left[\begin{array}{ccccccccccccccccccccccccccccccc}0& 1& 0.25& 0& 0.5& 0.66& 1\text{1}& 0& 0& 1& 0.75& 1& 0.8\text{0}.333& 0& 0.75& 0& 0& 0.33& 0.4\text{0}.667& 0.17& 1& 0.5& 0.75& 0& 0\text{0}.677& 0.33& 0& 1& 1& 1& 0.2\end{array}\right]$

3.用变异系数法求出指标权重：

$\omega =0.110,0.214,0.176,0.156,0.098,0.113,0.134$

4.各个方案加权平均值F为$\omega \ast R$：0.3525，0.4558，0.4505，0.5206，0.5864

5.越小越好则方案的优劣次序为：1，3，2，4，5

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

A=[1000 120 5000 1 50 1.5 1
700 60 4000 2 40 2 2
900 60 7000 1 70 1 4
800 70 8000 1.5 40 0.5 6
800 80 4000 2 30 2 5]
[m,n]=size(A);%找出多少行，多少列
maxA=max(A);%找出每列最大值
minA=min(A);%找出每列最小值
G=maxA-minA;
A1=max(A(:,1));%A1为效益性
A2=min(A(:,2:n-1));%A2~A6为成本型
A3=max(A(:,7));
u=[A1,A2,A3];
R=zeros(m,n);%将模糊综合矩阵设置初值为0
%如下是得出模糊综合局矩阵
for i=1:m
    for j=1:n
        R(i,j)=abs(A(i,j)-u(j))/G(j)
    end
end

x=mean(A);%求均值
s=std(A);%求方差
v=s./x;
v2=sum(v);
c=zeros(1,7);
for i=1:7
    c(i)=v(i)/v2;
end

FF=R*c';

相对优属度评价法

例题1.5.1对下表中5个方案进行综合评价

1.建立模糊效益矩阵，投资额，风险损失为成本型；期望净现值，风险盈利值为效益型

$W=\left[\begin{array}{ccccccccccccccccc}1& 0.5159& 0.9905& 0.5350& 0.7879\text{0}.7761& 1& 0.6269& 0.7836& 0.5597\text{0}.8284& 1& 0.6690& 0.9702& 0.5779\text{1}& 0.2958& 1& 0.3602& 0.5890\end{array}\right]$

2.由变异系数法求指标权重:$(0.259,0.235,0.246,0.259)$

3.各方案的加权平均优属度为$\omega \ast W$:$0.9320,0.5919,0.8765,0.5808,0.6307$,故方案排序为1，3，5，2，4