数据降维处理的算法：(评价模型)

主成分分析法(所有主成分的数量=指标数量,各主成分的累计方差贡献率>80%,或特征根>1)SPASS图像

例题1.1有31个样本，每个样本有8个变量

要从原来的所有变量得到新的综合变量，一种较为简单的方法是作线性变换，使得新的综合变量为原变量的线性组合
  • （var()为求方差的意思）$var(cF_1)=c^2var(f_1)$,c为常数
  • 为使得方差var(Fi)可以比较$a{i1}^2+a{i2}^2+a{ip}^2=1$
  • 要求原始变量有一定相关性
  • 要求各个综合变量之间互不相关，即协方差为0

例题1.2根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释
A B C D E F G
1 地区 人均GDP(元) 财政收入(万元) 固定资产投资(亿元) 年末总人口 (万人) 居民消费水平(元/人) 社会消费品零售总额(亿元)
2 北京 50467 11171514 3296.4 1581 16770 3275.2
3 天津 41163 4170479 1820.5 1075 10564 1356.8
4 河北 16962 6205340 5470.2 6898 4945 3397.4
5 山西 14132 5833752 2255.7 3375 4843 1613.4
6 内蒙古 20053 3433774 3363.2 2397 5800 1595.3
7 辽宁 21788 8176718 5689.6 4217 6929 3434.6
指标标准化：分析->描述统计->描述->导入数据->将标准化值另存为变量->结果

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进行主成分分析：分析->降维->因子->把标准化处理过的导入->描述->初始解->KMO和巴特利特球形度检验->得分->保存为变量->回归->显示因子得分系数矩阵

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上图显示的是特征值，如果特征值累计值超过百分之85，例如如图的前两个已经到了百分之85，则选1，2作为主成分
此时成分矩阵(下图)并不是主成分分析的系数，而是因子分析

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重新标度后成分取值在1~-1，其中第一个主成分代表的是人均GDP，固定资产投资，年末总人口，居民消费水平，第二个主成分代表的是财政收入，固定资产投资，社会消费品零售总额 (也可以用分析->降维->因子分析->旋转->载荷图，或者提取->碎石图看出来)

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因子分析和主成分分析之间的切换:因为已经得出成分矩阵了，只需要除以$\lambda$得到新的特征向量
转换->计算变量->(目标变量随意起名字)$V1/\sqrt{\lambda},其中\lambda=总方差解释中的重新标度的值$

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计算最终答案：
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模糊综合评价模型(适用于少量数据支撑情况下的评价问题)

模糊集：长，短；多，少；高，矮 这类现象不满足”非此即彼”的排中律，而具有“亦此亦彼”的模糊性：

设给定论域U，所谓U上的一个模糊集A是指对于任意$x∈U$，都能确定一个正数$\mu_A(x)∈[0,1]$用其表示x属于A的程度，映射$x∈U->\mu_A(x)∈[0,1]$称为A的隶属函数，函数值$\mu_A(x)$称为x对A的隶属度，每个元素都有隶属度的集合称之为模糊集

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设$x_i$表示第i(i=1,2,…,30)条线段，则论域$U=\left { \begin{array}{lr**}

x1,x_2,…,x{30}\end{array} \right }$若A为“长线段”的集合，则线段$xi$作为集A的成员资格，就是$x_i$对A的隶属度。因为线段越长，属于A的程度越大，所以线段的长短可以作为A的隶属度，从而令$A(x_1)=1,A(x{30})=0$,作直线$A(x_i)-0=\frac{1-0}{1-30}(i-30),A(x_i)=\frac{1}{29}(30-i),i=1,2,…,30$

隶属函数的分类：

  1. 偏小型:$A(x)=\left { \begin{array}{lr**}1,xb \end{array} \right.$

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  2. 偏大型:$A(x)=\left { \begin{array}{lr**}1,xb \end{array} \right.$

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  3. 中间型:$A(x)=\left { \begin{array}{lr**}0,xd\end{array} \right.$

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模糊评价：

例题1.1 某服装厂采用模糊综合评价法来了解顾客对某种服装的欢迎程度。顾客是否喜欢某种服装，与话说，样式，价格，耐用度和舒适度有关，故确定评价服装的因素集为U={花色，样式，价格，耐用度，舒适度}

1.由市场调研得出分别对各个因素的受欢迎程度为(评价指标)
R1={0.2，0.5，0.3，0}，R2={0.1，0.3，0.5，0.1}，R3={0，0.1，0.6，0.3}，R4={0，0.4，0.5，0.1}，R5={0.5，0.3，0.2，0}得出模糊综合评价矩阵为$A=\left { \begin{array}{lr**} 0.2\quad0.5\quad0.3\quad0\0.1\quad0.2\quad0.5\quad0.1\ 0\quad0.1\quad0.6\quad0.3\0\quad0.4\quad0.5\quad0.1\ 0.5\quad0.3\quad0.2\quad0\\end{array} \right.$
2.评价指标权重的确定(花色，耐用度，…谁更重要),确定权重通常有主观和客观两类方法，主观法的代表是层次分析法，客观法是根据各指标的联系，利用数学方法计算出各指标的权重，如质量分数法，变异系数法
通常引入一个模糊向量$A=(a_1,a_2,…,a_n)$来表示各评价指标在目标中所占权重，称为权重向量

变异系数法：已知5个投资方案如下表，试确定4个评价指标的权重

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变异系数法的设计原理：将波动幅度高的指标，给与较大的权重，因为方差可以描述取值的离散程度，即某指标的方差反映了该指标的分辨能力，所以可以用方差定义指标的权重
  • 计算第i项指标的均值与方差$\overline{Ai}=\frac{1}{n}\sum{j=1}^{n}a{ij},s_i^2=\frac{1}{n-1}\sum{j=1}^{n}(a{ij}-\overline{x_i})^2$令$v_i=s_i/|\overline{x_i}|$,则归一化的$v_i$ (如果此时v的值都在0~1范围内就不需要归一化，否则要对原始数据进行归一化处理) 即为各指标的权重，$归一化方法：\frac{v_i-v{imin}}{v{imax}-v{imin}}$即$\omega_i=v_i/\sum{v_i}$
结果：$\overline{x_i}=7.37,s_i=2,38,v_1=s_1/\overline{x_1}=2.38/7.37=0.323,同理v_2=0.227，v_3=0.228，v_4=0.544$从而$\omega_1=0.244,\omega_2=0.172,\omega_3=0.172,\omega_4=0.412$ 其实只能判断哪些指标分辨率更强，但不是谁最重要
3.模糊合成与综合评价
其实也可以取M为普通的矩阵乘法，此时合成即为加权平均(效果不好)，至于到底取何种算子取决于问题的性质和算子的特点

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屏幕截图_20240406_144845

乘法体现权数作用，取和的时候综合程度强，相乘就是利用R的信息(图上有误)

主因素突出型适用于模糊矩阵中数据相差很悬殊的情形，而加权平均型则常用于因素很多的情形，可以避免信息丢失

例题1.3.1在教学过程的综合评价中，取U={清楚易懂，教材熟悉，生动有趣，板书整齐}，V={很好，较好，一般，不好}。设某班同学对教师的教学评价矩阵为$R=\left[\matrix{0.4 & 0.5 & 0.1 & 0\0.6 & 0.3 & 0.1 & 0\0.1 & 0.2 & 0.6 & 0.1\0.1 & 0.2& 0.5 & 0.2}\right]$,若考虑权重A=(0.5,0.2,0.2,0.1)试求学生对这位教师的综合评价
利用A和R，利用四种合成算子编程计算得$B=\left[\matrix{0.3333 & 0.4164 & 0.1667 & 0.0833\0.3200 & 0.4000 & 0.2000 & 0.0800\0.3390 & 0.4237 & 0.2033 & 0.0339\0.3500 & 0.3700& 0.2400 & 0.0400}\right]$

过程如下：

1.权重A的每一行元素和R分别和每一列元素相比得到最小$(0.4,0.2,0.1,0.1);(0.5,0.2,0.1,0.1);(0.1,0.1,0.2,0.5);(0,0,0.1,0.1)$

2.再将得出的每一括号内的元素取最大值为$0.4,0.5,0.2,0.1$

3.因为所有$b_i$相加应该等于1，0.4，0.5，0.2，0.1都在0~1范围内，已经归一化了，但是相加得0.4+0.5+0.2+0.1=1.2不为1，就用0.4除以他们的综合，其他同理，结果为以上

注意:这道题简单于，给出了权向量A和评价矩阵R，一般情况下不会给，要根据变异方差法求A，求R的常用方法有相对偏差法和相对优属度法，在数学建模中还可以考虑与灰色系数分析连用

相对偏差法

1.4.1例题先有下列5个农业奇数经济方案，试评价各方案的优劣

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1.产量和肥力为效益性指标，其他为理想型指标，效益性指标用最大值，理想型指标用最小值：u={1000，60，4000，1，30，0.5，1}
2.根据前述方法求出相对偏差模糊矩阵：$\frac{最大值-该值}{最大值-最小值}=\frac{1000-1000}{1000-700}=0$

$R=\left[\matrix{0 & 1 & 0.25 & 0 & 0.5 & 0.66 &1\1 & 0 & 0 & 1&0.75&1&0.8\0.333 & 0 & 0.75 & 0&0&0.33&0.4\0.667 & 0.17& 1 & 0.5&0.75&0&0\0.677&0.33&0&1&1&1&0.2}\right]$

3.用变异系数法求出指标权重：

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$\omega=0.110,0.214,0.176,0.156,0.098,0.113,0.134$

4.各个方案加权平均值F为$\omega*R$：0.3525，0.4558，0.4505，0.5206，0.5864
5.越小越好则方案的优劣次序为：1，3，2，4，5
1
2
3
4
5
6
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31
A=[1000 120 5000 1 50 1.5 1
700 60 4000 2 40 2 2
900 60 7000 1 70 1 4
800 70 8000 1.5 40 0.5 6
800 80 4000 2 30 2 5]
[m,n]=size(A);%找出多少行，多少列
maxA=max(A);%找出每列最大值
minA=min(A);%找出每列最小值
G=maxA-minA;
A1=max(A(:,1));%A1为效益性
A2=min(A(:,2:n-1));%A2~A6为成本型
A3=max(A(:,7));
u=[A1,A2,A3];
R=zeros(m,n);%将模糊综合矩阵设置初值为0
%如下是得出模糊综合局矩阵
for i=1:m
    for j=1:n
        R(i,j)=abs(A(i,j)-u(j))/G(j)
    end
end

x=mean(A);%求均值
s=std(A);%求方差
v=s./x;
v2=sum(v);
c=zeros(1,7);
for i=1:7
    c(i)=v(i)/v2;
end

FF=R*c';

相对优属度评价法

例题1.5.1对下表中5个方案进行综合评价

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1.建立模糊效益矩阵，投资额，风险损失为成本型；期望净现值，风险盈利值为效益型image-20240406163818413

$W=\left[\matrix{1 & 0.5159 & 0.9905 & 0.5350 & 0.7879\0.7761 & 1 & 0.6269&0.7836&0.5597\0.8284 & 1 & 0.6690 & 0.9702&0.5779\1 & 0.2958& 1 & 0.3602&0.5890}\right]$

2.由变异系数法求指标权重:$(0.259,0.235,0.246,0.259)$
3.各方案的加权平均优属度为$\omega*W$:$0.9320,0.5919,0.8765,0.5808,0.6307$,故方案排序为1，3，5，2，4