数据降维处理的算法：(评价模型)

主成分分析法(所有主成分的数量=指标数量,各主成分的累计方差贡献率>80%,或特征根>1)SPASS图像

例题1.1有31个样本，每个样本有8个变量

要从原来的所有变量得到新的综合变量，一种较为简单的方法是作线性变换，使得新的综合变量为原变量的线性组合

\[ \left \{ \begin{array}{lr**} F_1=a_{11}x_1+a_{21}x_2+...+a_{p1}x_p\\ F_2=a_{12}x_1+a_{21}x_2+...+a_{p2}x_p\\ ...\\ F_p=a_{1p}x_1+a_{2p}x_2+...+a_{pp}x_p\\ \end{array} \right.\\ F_i=a_{1i}x_1+a_{2i}x_2+...+a_{pi}x_p\quad i=1,2,...p\\ \]

（var()为求方差的意思）\(var(cF_1)=c^2var(f_1)\),c为常数
为使得方差var(F_i)可以比较\(a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{ip}^2=1\)
要求原始变量有一定相关性
要求各个综合变量之间互不相关，即协方差为0

例题1.2根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释

	A	B	C	D	E	F	G
1	地区	人均GDP(元)	财政收入(万元)	固定资产投资(亿元)	年末总人口 (万人)	居民消费水平(元/人)	社会消费品零售总额(亿元)
2	北京	50467	11171514	3296.4	1581	16770	3275.2
3	天津	41163	4170479	1820.5	1075	10564	1356.8
4	河北	16962	6205340	5470.2	6898	4945	3397.4
5	山西	14132	5833752	2255.7	3375	4843	1613.4
6	内蒙古	20053	3433774	3363.2	2397	5800	1595.3
7	辽宁	21788	8176718	5689.6	4217	6929	3434.6

指标标准化：分析->描述统计->描述->导入数据->将标准化值另存为变量->结果

进行主成分分析：分析->降维->因子->把标准化处理过的导入->描述->初始解->KMO和巴特利特球形度检验->得分->保存为变量->回归->显示因子得分系数矩阵

`上图显示的是特征值`，如果特征值累计值超过百分之85，例如如图的前两个已经到了百分之85，则选1，2作为主成分

此时成分矩阵(下图)并不是主成分分析的系数，而是因子分析

重新标度后成分取值在1~-1，其中第一个主成分代表的是人均GDP，固定资产投资，年末总人口，居民消费水平，第二个主成分代表的是财政收入，固定资产投资，社会消费品零售总额 (也可以用分析->降维->因子分析->旋转->载荷图，或者提取->碎石图看出来)

因子分析和主成分分析之间的切换:因为已经得出成分矩阵了，只需要除以\(\lambda\)得到新的特征向量

\[ u_{ij}=a_{ij}/\sqrt{\lambda_{i}} \]

转换->计算变量->(目标变量随意起名字)\(V1/\sqrt{\lambda},其中\lambda=总方差解释中的重新标度的值\)

计算最终答案：

模糊综合评价模型(适用于少量数据支撑情况下的评价问题)

模糊集：长，短；多，少；高，矮这类现象不满足"非此即彼"的排中律，而具有“亦此亦彼”的模糊性：

设给定论域U，所谓U上的一个模糊集A是指对于任意\(x∈U\)，都能确定一个正数\(\mu_A(x)∈[0,1]\)用其表示x属于A的程度，映射\(x∈U->\mu_A(x)∈[0,1]\)称为A的隶属函数，函数值\(\mu_A(x)\)称为x对A的隶属度，每个元素都有隶属度的集合称之为模糊集

设\(x_i\)表示第i(i=1,2,...,30)条线段，则论域\(U=\left \{ \begin{array}{lr**} x_1,x_2,...,x_{30}\end{array} \right \}\)若A为“长线段”的集合，则线段\(x_i\)作为集A的成员资格，就是\(x_i\)对A的隶属度。因为线段越长，属于A的程度越大，所以线段的长短可以作为A的隶属度，从而令\(A(x_1)=1,A(x_{30})=0\),作直线\(A(x_i)-0=\frac{1-0}{1-30}(i-30),A(x_i)=\frac{1}{29}(30-i),i=1,2,...,30\)

隶属函数的分类：

偏小型:\(A(x)=\left \{ \begin{array}{lr**}1,x<a\\\frac{b-x}{a-x},a \leq x\leq b \\0,x>b \end{array} \right.\)
偏大型:\(A(x)=\left \{ \begin{array}{lr**}1,x<a\\\frac{x-a}{b-a},a \leq x\leq b \\0,x>b \end{array} \right.\)
中间型:\(A(x)=\left \{ \begin{array}{lr**}0,x<a\\\frac{x-a}{b-a},a \leq x< b \\1,b\leq x\leq c\\ \frac{d-x}{d-c},c\leq x\leq d \\0,x>d\end{array} \right.\)

模糊评价：

例题1.1 某服装厂采用模糊综合评价法来了解顾客对某种服装的欢迎程度。顾客是否喜欢某种服装，与话说，样式，价格，耐用度和舒适度有关，故确定评价服装的因素集为U={花色，样式，价格，耐用度，舒适度}

1.由市场调研得出分别对各个因素的受欢迎程度为(评价指标)

R1={0.2，0.5，0.3，0}，R2={0.1，0.3，0.5，0.1}，R3={0，0.1，0.6，0.3}，R4={0，0.4，0.5，0.1}，R5={0.5，0.3，0.2，0}得出模糊综合评价矩阵为\(A=\left \{ \begin{array}{lr**} 0.2\quad0.5\quad0.3\quad0\\0.1\quad0.2\quad0.5\quad0.1\\ 0\quad0.1\quad0.6\quad0.3\\0\quad0.4\quad0.5\quad0.1\\ 0.5\quad0.3\quad0.2\quad0\\\end{array} \right.\)

2.评价指标权重的确定(花色，耐用度，...谁更重要),确定权重通常有主观和客观两类方法，主观法的代表是层次分析法，客观法是根据各指标的联系，利用数学方法计算出各指标的权重，如质量分数法，变异系数法

通常引入一个模糊向量\(A=(a_1,a_2,...,a_n)\)来表示各评价指标在目标中所占权重，称为权重向量

变异系数法：已知5个投资方案如下表，试确定4个评价指标的权重

变异系数法的设计原理：将波动幅度高的指标，给与较大的权重，因为方差可以描述取值的离散程度，即某指标的方差反映了该指标的分辨能力，所以可以用方差定义指标的权重

计算第i项指标的均值与方差\(\overline{A_i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij},s_i^2=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}-\overline{x_i})^2\)令\(v_i=s_i/|\overline{x_i}|\),则归一化的\(v_i\) (如果此时v的值都在0~1范围内就不需要归一化，否则要对原始数据进行归一化处理) 即为各指标的权重，\(归一化方法：\frac{v_i-v_{imin}}{v_{imax}-v_{imin}}\)即\(\omega_i=v_i/\sum{v_i}\)

结果：\(\overline{x_i}=7.37,s_i=2,38,v_1=s_1/\overline{x_1}=2.38/7.37=0.323,同理v_2=0.227，v_3=0.228，v_4=0.544\)从而\(\omega_1=0.244,\omega_2=0.172,\omega_3=0.172,\omega_4=0.412\) 其实只能判断哪些指标分辨率更强，但不是谁最重要

3.模糊合成与综合评价

其实也可以取M为普通的矩阵乘法，此时合成即为加权平均(效果不好)，至于到底取何种算子取决于问题的性质和算子的特点

乘法体现权数作用，取和的时候综合程度强，相乘就是利用R的信息(图上有误)

主因素突出型适用于模糊矩阵中数据相差很悬殊的情形，而加权平均型则常用于因素很多的情形，可以避免信息丢失

例题1.3.1在教学过程的综合评价中，取U={清楚易懂，教材熟悉，生动有趣，板书整齐}，V={很好，较好，一般，不好}。设某班同学对教师的教学评价矩阵为\(R=\left[\matrix{0.4 & 0.5 & 0.1 & 0\\0.6 & 0.3 & 0.1 & 0\\0.1 & 0.2 & 0.6 & 0.1\\0.1 & 0.2& 0.5 & 0.2}\right]\),若考虑权重A=(0.5,0.2,0.2,0.1)试求学生对这位教师的综合评价

利用A和R，利用四种合成算子编程计算得\(B=\left[\matrix{0.3333 & 0.4164 & 0.1667 & 0.0833\\0.3200 & 0.4000 & 0.2000 & 0.0800\\0.3390 & 0.4237 & 0.2033 & 0.0339\\0.3500 & 0.3700& 0.2400 & 0.0400}\right]\)

过程如下：

1.权重A的每一行元素和R分别和每一列元素相比得到最小\((0.4,0.2,0.1,0.1);(0.5,0.2,0.1,0.1);(0.1,0.1,0.2,0.5);(0,0,0.1,0.1)\)

2.再将得出的每一括号内的元素取最大值为\(0.4,0.5,0.2,0.1\)

3.因为所有\(b_i\)相加应该等于1，0.4，0.5，0.2，0.1都在0~1范围内，已经归一化了，但是相加得0.4+0.5+0.2+0.1=1.2不为1，就用0.4除以他们的综合，其他同理，结果为以上

`注意:`这道题简单于，给出了权向量A和评价矩阵R，一般情况下不会给，要根据变异方差法求A，求R的常用方法有相对偏差法和相对优属度法，在数学建模中还可以考虑与灰色系数分析连用

相对偏差法

1.4.1例题先有下列5个农业奇数经济方案，试评价各方案的优劣

1.产量和肥力为效益性指标，其他为理想型指标，效益性指标用最大值，理想型指标用最小值：u={1000，60，4000，1，30，0.5，1}

2.根据前述方法求出相对偏差模糊矩阵：\(\frac{最大值-该值}{最大值-最小值}=\frac{1000-1000}{1000-700}=0\)

\(R=\left[\matrix{0 & 1 & 0.25 & 0 & 0.5 & 0.66 &1\\1 & 0 & 0 & 1&0.75&1&0.8\\0.333 & 0 & 0.75 & 0&0&0.33&0.4\\0.667 & 0.17& 1 & 0.5&0.75&0&0\\0.677&0.33&0&1&1&1&0.2}\right]\)

3.用变异系数法求出指标权重：

\(\omega=0.110,0.214,0.176,0.156,0.098,0.113,0.134\)

4.各个方案加权平均值F为\(\omega*R\)：0.3525，0.4558，0.4505，0.5206，0.5864

5.越小越好则方案的优劣次序为：1，3，2，4，5

A=[1000 120 5000 1 50 1.5 1
700 60 4000 2 40 2 2
900 60 7000 1 70 1 4
800 70 8000 1.5 40 0.5 6
800 80 4000 2 30 2 5]
[m,n]=size(A);%找出多少行，多少列
maxA=max(A);%找出每列最大值
minA=min(A);%找出每列最小值
G=maxA-minA;
A1=max(A(:,1));%A1为效益性
A2=min(A(:,2:n-1));%A2~A6为成本型
A3=max(A(:,7));
u=[A1,A2,A3];
R=zeros(m,n);%将模糊综合矩阵设置初值为0
%如下是得出模糊综合局矩阵
for i=1:m
    for j=1:n
        R(i,j)=abs(A(i,j)-u(j))/G(j)
    end
end

x=mean(A);%求均值
s=std(A);%求方差
v=s./x;
v2=sum(v);
c=zeros(1,7);
for i=1:7
    c(i)=v(i)/v2;
end

FF=R*c';

相对优属度评价法

例题1.5.1对下表中5个方案进行综合评价

1.建立模糊效益矩阵，投资额，风险损失为成本型；期望净现值，风险盈利值为效益型

\(W=\left[\matrix{1 & 0.5159 & 0.9905 & 0.5350 & 0.7879\\0.7761 & 1 & 0.6269&0.7836&0.5597\\0.8284 & 1 & 0.6690 & 0.9702&0.5779\\1 & 0.2958& 1 & 0.3602&0.5890}\right]\)